몬티홀(Monty Hall) 문제

몬티홀 문제(Monty Hall)는 미국의 어느 방송국에서 했던 “Let's Make a Deal”이라는 쇼 프로그램에서 진행자 Monty Hall 씨의 이름을 때서 붙혀진 흥미로운 게임이다. 물론 이 게임은 우리나라 예능 프로그램에서도 가끔 행해진다. 이 게임은 다음과 같이 진행된다.

 

1. 방송국 스튜디오에는 닫힌 3개의 문이 있다. 그 3개의 문 뒤에는 염소 2마리와 스포츠차 1대가 임의의 순서대로 배치되어 있다. 주인공이 그 중 하나의 문을 선택하게 되는데 스포츠카가 있는 문을 선택하면 그 차를 갖게 된다.

2. 게스트가 나와서 문을 하나 고른다. (예를 들어 첫 번째 문을 골랐다고 하자.)

3. 그 후 프로그램 진행자인 몬티홀은 어느 문 뒤에 스포츠카가 있는지를 알기에 나머지 두 문 중에 염소가 있는 문을 열어 보여 준다. (만약 문1에 자동차가 있으면 문2와 문3중에서 하나를 임의로 선택해서 보여줍니다.) 그리고는 게스트에게 묻는다. “당신은 지금 선택을 바꾸겠습니까?” 게스트에게 처음 선택한 문을 고르거나 아니면 나머지 남은 문을 고르거나를 결정해야 한다. 

 

주인공은 처음의 선택을 바꾸는 것이 나을까? 아니면 바꾸는 것과 바꾸지 않는것이 같은 것일까?

 

몬티홀 문제는 조건부 확률의 개념을 설명하는데 흔히 사용되는 사례이다. 아무런 정보가 없을 때 자동차가 특정 문 뒤에 있을 확률은 각각 1/3이다. 즉, C1을 첫 번째 문에 자동차가 있는 사건, C2을 두 번째 문에 자동차가 있는 사건, C3을 세 번째 문에 자동차가 있는 사건으로 한다면, P(C1)=P(C2)=P(C3)=1/3이다.

 

그런데 여기에 새로운 정보가 추가된다. 몬티홀의 행동은 어느 문에 자동차가 있는지에 대한 정보를 제공한다. 게스트가 처음 문1을 선택했을 때, D1을 몬티홀이 첫 번째 문을 보여주는 사건, D2을 몬티홀이 두 번째 문을 보여주는 사건, D3을 몬티홀이 세 번째 문을 보여주는 사건이라고 정의한다면, 몬티홀의 행동은 실제 자동차가 어느 문에 있는지에 따라 다르게 결정되므로 다음과 같은 조건부 확률을 갖게 된다. 

 

P(D3|C1)=1/2,   P(D3|C2)=1,   P(D3|C3)=0

 

즉, 자동차가 첫 번째 문에 있다면 문2와 문3에 둘 다 염소가 있으므로 몬티홀은 두 문중에 하나를 같은 확률로 뽑아 보여준다. 하지만 자동차가 두 번째 문에 있다면 나머지 두 문 중에 염소가 있는 문은 문3 뿐이다. 따라서 P(D3|C2)=1이 된다. 마찬가지로 자동차가 세 번째 문에 있으면 P(D3|C3)=0이다. 

 

 따라서 만약 몬티홀이 세 번째 문을 열었다면 조건부 확률의 정의를 활용하여 표시하면,, 

 

P(C1|D3)={P(D3|C1)P(C1)}/{P(D3|C1)P(C1)+P(D3|C2)P(C2)+P(D3|C3)P(C3)}=1/3

 

으로 계산된다. 하지만,    

 

P(C2|D3)={P(D3|C2)P(C2)}/{P(D3|C1)P(C1)+P(D3|C2)P(C2)+P(D3|C3)P(C3)}=2/3

 

이므로 문2에 자동차가 있을 확률이 더 높아진다. 만약 몬티홀씨가 두 번째 문을 열었다면 마찬가지 방법으로 P(C1|D2)=1/3, P(C3|D2)=2/3이다. 따라서 게스트는 자신의 선택을 바꾸는 것이 항상 유리하다. 

 

직관적으로 이해하기

 

문1에 자동차가 있을 확률은 몬티홀의 행위에 상관없이 1/3로 일정하다. 그런데 나머지 문에 자동차가 있을 확률은 몬티홀의 행위에 영향을 받는다. 왜냐하면 몬티홀은 나머지 두 개의 문 중에서 어느 문에 자동차가 없는지를 보여줌으로써 확률을 어느 한쪽으로 몰아주었기 때문이다. 즉, 처음 확률 1/3의 확률로 문2와 문3에 각각 자동차가 있었는데 몬티홀이 문3을 열어서 자동차가 없음을 보여주게 되면 그 사건을 통해 문3에 자동차가 있을 확률은 0이 되고 따라서 문2에 자동차가 있을 확률은 (1/2이 아니고) 2/3이 되는 것이다. 

 

만약 문이 10개 있다고 하고 주인공이 문1을 선택했을 때 몬티홀씨가 자동차가 없는 나머지 8개 문을 열어서 확인시켜 준다면 이 원리는 더 명확해진다. 즉, 몬티홀 문제에서의 핵심은 몬티홀이 어느 문에 자동차가 있는지 알고 있다는 것이고 그러기에 자동차가 없는 문을 열어줄 수 가 있는 것이다. 

 

관찰을 통해 확률이 업데이트되는 것은 학습(learning)의 주요 개념이다. 몬티홀 문제는 사전확률과 사후확률의 관계로도 표현된다. 특정 실험으로부터 어떤 결과가 얻어진다고 할 때 그 결과를 얻기 이전에서의 확률을 사전확률이라 부르고 그 결과를 바탕으로 조건부 확률은 사후확률이라고 부른다. 사후확률을 구하는 방법이 베이즈정리이다.